벡터의 외적

수식

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$\vec{A}\times \vec{B}=\left|A\right|\left|B\right|sin\theta \cdot \hat{n}$ $\vec{A}\times \vec{B}=\left(\begin{array}{c}A.y\times B.z-A.z\times B.y\\ A.z\times B.x-A.x\times B.z\\ A.x\times B.y-A.y\times B.x\end{array}\right)$

활용

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• 두 벡터에 수직인 벡터를 구할 수 있다.
• 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이를 구할 수 있다.
• 회전 방향을 판정할 수 있다. (시계 방향 / 반시계 방향)
• 법선 벡터(Normal Vector)를 계산할 수 있다.

원리

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두 벡터에 수직인 벡터 구하기

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$\vec{A}\times \vec{B}=\left|A\right|\left|B\right|sin\theta \cdot \hat{n}$에 따르면 두 벡터의 외적은 A벡터의 크기 * B벡터의 크기 * 두 벡터 사잇각의 사인 * 단위 법선 벡터이다.

여기서 $\hat{n}$은 A와 B 두 벡터에 모두 수직인 단위 벡터이다. 외적의 결과는 두 입력 벡터에 모두 수직인 벡터가 된다.

Vector A, B;
 
Vector perpendicular = Cross( A, B );
perpendicular.Normalize();  // 단위 법선 벡터로 만들기

의사 코드로 표현한 두 벡터에 수직인 벡터를 구하는 방법이다.

오른손 법칙 (Right-Hand Rule)

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외적의 방향은 오른손 법칙을 따른다:

1. 오른손 검지를 첫 번째 벡터 A 방향으로 향하게 한다.
2. 중지를 두 번째 벡터 B 방향으로 향하게 한다.
3. 엄지가 가리키는 방향이 A × B의 방향이다.

주의: B × A = -(A × B) 외적은 교환법칙이 성립하지 않는다.

평행사변형의 넓이 구하기

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$\left|\vec{A}\times \vec{B}\right|=\left|A\right|\left|B\right|sin\theta$

외적의 크기는 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이와 같다. 따라서 삼각형의 넓이는 외적 크기의 절반이 된다.

Vector A, B;
 
Vector crossProduct = Cross( A, B );
float parallelogramArea = crossProduct.Length();
float triangleArea = parallelogramArea * 0.5f;

의사 코드로 표현한 평행사변형과 삼각형 넓이를 구하는 방법이다.

회전 방향 판정

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2D 평면에서 벡터 A에서 벡터 B로의 회전 방향을 판정할 수 있다.

Vector2D A, B;
 
// Z축 성분만 계산 (2D에서는 X, Y가 0)
float crossZ = A.x * B.y - A.y * B.x;
 
if ( crossZ > 0 )
{
    // 반시계 방향 (Counter-Clockwise)
}
else if ( crossZ < 0 )
{
    // 시계 방향 (Clockwise)
}
else
{
    // 평행 (Parallel)
}

특성

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교환법칙 불성립 $\vec{A}\times \vec{B}=-(\vec{B}\times \vec{A})$

분배법칙 성립 $\vec{A}\times (\vec{B}+\vec{C})=\vec{A}\times \vec{B}+\vec{A}\times \vec{C}$

자기 자신과의 외적은 0 $\vec{A}\times \vec{A}=\vec{0}$

평행한 벡터의 외적은 0 $\vec{A}\parallel \vec{B}\Rightarrow \vec{A}\times \vec{B}=\vec{0}$