테일러 전개

테일러 전개란?

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복잡한 함수를 “간단한 다항식”으로 바꿔서 계산하는 방법이다.

왜 필요한가?

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• $\sin (x)$, $e^x$ 같은 복잡한 함수를 직접 계산하는 것은 어렵다
• 하지만 $1+x+x^2+x^3$ 같은 다항식은 덧셈과 곱셈만으로 계산 가능
• 테일러 전개는 복잡한 함수를 이런 간단한 다항식으로 바꿔준다

핵심 컨셉

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한 점에서의 정보(값, 기울기, 곡률 등)를 이용해서 주변 값들을 추정한다.

직관적 이해

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산 정상에서 주변 지형 추측하기

당신이 산 정상에 서 있다고 상상해보자.

0차 근사¹ (그냥 평평하다고 가정)

• “주변도 다 이 높이야!”
• 현재 위치의 높이만 사용
• 가장 부정확하지만 가장 간단

1차 근사 (경사만 고려)

• “이 방향으로 가면 이만큼 올라가겠네”
• 현재 위치 + 경사(기울기) 정보 사용
• 직선으로 추정

2차 근사 (경사 + 곡률 고려)

• “경사가 점점 가파르게/완만하게 변하네”
• 현재 위치 + 경사 + 곡률 정보 사용
• 곡선으로 추정 (더 정확)

수식 (단계별 이해)

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1변수 함수의 테일러 전개

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기본 형태

$f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2!}(x-a{)}^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }(a)}{3!}(x-a{)}^3+\cdots$

각 항의 의미

• $f(a)$ : 점 $a$에서의 값 (현재 높이)
• $f^{\prime }(a)(x-a)$ : 기울기 효과 (경사 × 이동거리)
• $\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2!}(x-a{)}^2$ : 곡률 효과 (곡률 × 이동거리²)
• 이후 항들 : 더 세밀한 변화들

요약 형태

$f(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$

3차원 벡터 함수의 테일러 전개

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2차까지 근사

$f(\mathbf{x})\approx f(\mathbf{a})+\nabla f(\mathbf{a})\cdot (\mathbf{x}-\mathbf{a})+\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\mathbf{a}{)}^{T}H(\mathbf{a})(\mathbf{x}-\mathbf{a})$

각 항의 의미

• $f(\mathbf{a})$ : 점 $\mathbf{a}$에서의 값
• $\nabla f(\mathbf{a})$ : 그래디언트 (각 방향의 기울기)
• $H(\mathbf{a})$ : 헤시안 행렬 (각 방향의 곡률)

활용

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• 복잡한 함수를 간단한 다항식으로 근사
• 함수의 동작을 예측하고 분석
• 게임/물리 시뮬레이션에서 빠른 근사 계산
• Fast Winding Number 같은 기하 계산 최적화

원리 (쉬운 설명)

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단계별로 이해하기

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0차 근사: “그냥 같은 값이야”

$f(x)\approx f(a)$

점 $a$에서의 값을 그대로 사용. 가장 단순하지만 부정확.

예시 )

f(3) = 10 이면, 
f(3.1)도 그냥 10이라고 추측

1차 근사: “경사대로 올라가거나 내려가”

$f(x)\approx f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$

점 $a$의 기울기를 이용해 직선으로 근사.

예시 )

f(3) = 10, f'(3) = 2 (기울기)이면
f(3.1) ≈ 10 + 2×(3.1-3) = 10 + 0.2 = 10.2

2차 근사: “경사가 변하는 것도 고려”

$f(x)\approx f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2}(x-a{)}^2$

곡률까지 고려해서 곡선으로 근사.

예시 )

f(3) = 10, f'(3) = 2, f''(3) = 0.5 (곡률)이면
f(3.1) ≈ 10 + 2×0.1 + 0.5×0.01/2 = 10.2025

언제 정확한가?

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가까울수록 정확

• 전개 중심점 $a$에 가까우면 매우 정확
• 멀어질수록 오차 증가

차수가 높을수록 정확

• 0차 < 1차 < 2차 < 3차 …
• 하지만 계산량도 함께 증가

비유 : 지도 확대

• 1cm 주변: 매우 정확
• 1km 주변: 오차 발생
• 100km 주변: 많이 틀림

매클로린 급수 (Maclaurin Series)

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$a=0$인 특수한 경우를 매클로린 급수라고 한다.

$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }(0)}{3!}{x}^3+\cdots$

대표적인 매클로린 급수

• $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$
• $\sin (x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$
• $\cos (x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$

다변수 함수의 테일러 전개

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3차원 벡터 함수 $f(\mathbf{x})$를 점 $\mathbf{a}$ 주변에서 전개하면:

1차 근사

$f(\mathbf{x})\approx f(\mathbf{a})+\nabla f(\mathbf{a})\cdot (\mathbf{x}-\mathbf{a})$

// 1차 테일러 근사
double Approximate1stOrder( Vector3d x, Vector3d a, Vector3d gradient )
{
    double f_a = EvaluateFunction( a );
    Vector3d dx = x - a;
    return f_a + Dot( gradient, dx );
}

2차 근사

$f(\mathbf{x})\approx f(\mathbf{a})+\nabla f(\mathbf{a})\cdot (\mathbf{x}-\mathbf{a})+\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\mathbf{a}{)}^{T}H(\mathbf{x}-\mathbf{a})$

// 2차 테일러 근사
double Approximate2ndOrder( Vector3d x, Vector3d a, Vector3d gradient, Matrix3d hessian )
{
    double f_a = EvaluateFunction( a );
    Vector3d dx = x - a;
 
    double order1 = Dot( gradient, dx );
    double order2 = 0.5 * dx.Dot( hessian * dx );
 
    return f_a + order1 + order2;
}

특성

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수렴 반경 (Radius of Convergence)

• 테일러 급수가 수렴하는 범위는 함수와 전개 중심점에 따라 다르다.
• $|x-a|<R$ 범위에서 수렴한다. ($R$: 수렴 반경)

오차 평가 (Error Estimation)

• 나머지 항(Remainder Term): $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-a{)}^{n+1}$ (단, $\xi$는 $a$와 $x$ 사이의 값)
• 고차 항을 무시할수록 오차가 증가한다.

전개 중심점의 중요성

• 전개 중심점 $a$에서 가까울수록 근사가 정확하다.
• 멀어질수록 더 높은 차수가 필요하다.

미분 가능성

• 테일러 전개를 하려면 함수가 충분히 미분 가능해야 한다.
• $n$차 테일러 전개는 $n$번 미분 가능한 함수에 적용 가능하다.

실용적 고려사항

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차수 선택

• 1차: 빠르지만 정확도 낮음, 선형 근사
• 2차: 균형잡힌 선택, 곡률 고려
• 3차 이상: 정확하지만 계산 비용 증가

적용 조건

• 전개 중심점에서의 거리가 충분히 가까워야 함
• Fast Winding Number에서는 거리 조건: $|P-Q|>\beta R$

// 테일러 근사 사용 가능 여부 판정
bool CanUseTaylorApproximation( Vector3d center, double radius, Vector3d query, double beta = 2.0 )
{
    double distance = Distance( center, query );
    return distance > beta * radius;
}

Footnotes

1. 어떤 대상을 다른 대상과 거의 비슷하거나 가깝게 표현하는 것 ↩